Integraler

Introduktion

Integraler kan bl a användas för att bestämma längd, area eller volym för en funktion. Dessa baseras på omvänd derivata, d v s det som brukar benämnas primitiva funktioner.

Integralen kan ses som areasumman av ett oändligt antal smala rektanglar mellan gränserna a och b. Matematiskt betecknas detta med gränsvärde (limes) enligt:

\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^nf\left(x_k\right)∆x=\int f\left(x\right)dx

En integral definieras som \int_a^bf\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) där F(b) och F(a) är den övre respektive undre gränsens primitiva funktion.

Arean mellan två funktioner kan beräknas som skillnaden mellan den första och andra funktionen. Det spelar ingen roll om bägge eller en av kurvorna ligger under x-axeln.

Arean = \int\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx=\int f\left(x\right)dx-\int g\left(x\right)dx

Finns det bara en funktion så representerar den arean mellan funktionen och x-axeln ( g(x)=0 ). Observera dock att till skillnad från arean så kan integralens värde vara negativ om den representerar en större area under x-axeln än över densamma.

Härledningar

Geogebra-aktiviteter

Videoklipp